Kelly’s Criterion凱利方程式加上讓隨機愚弄策略的下注法

今天在何嘉仁書店翻閱雜誌時，在本期的【Financial World 國際投資月刊】裏看到一篇編輯部寫的關於Kelly’s Criterion的文章，讓我想起凱利方程式(Kelly)這個觀念和昨天寫到機率與期望值決策方法似乎有互補之處，昨天在談到下注法時，各種賭注加倍下注法是希望利用賭注的變化來改變贏與輸的機率，讓長期的下注結果，可以變成高機率的小贏配低機率的大輸，資本越高時，大輸的機率就越低。凱利方程式的方式則是要在資本有限的狀況下，每次都相同下注額的情況下，選擇最適合的單次賭注，提高大贏的機率，並降低破產的機率，以極大化長期報酬。

賭注加倍法與反向賭注加倍法都會收到賭注上限的影響，而賭注加倍法的小贏大輸局面，在必須準備頗高的安全資金下，其實也顯得不夠有吸引力，期望報酬率並不高，而且還可能遇上萬一不幸地輸光。反向賭注加倍法則幾乎大多時候都會輸，和樂透的感覺比較像，必須等到低機率的連續有利時才會大贏，贏的機率太偏低，也太極端。賭注加倍法與反向賭注加倍法通常都會選擇不利度最低，最公平的方式來賭，例如賭單雙或賭紅色黑色。你有沒有想過這個問題，為何賭場要故意將這種1賠1的賭法設計成不利度最低呢？難道不是因為賭場明知多數人都會選擇不利度最低的賭法來賭，而且賭場知道，鼓勵這個賭法其實是最能讓賭場長期穩健獲利的方法。還是你以為這是不小心設計的。

基本上如果理性地用期望值方式判斷，根本就不該在賭場賭博，因為機率乘以賠率的期望值，永遠都是低於賭注，例如只有一個0的輪盤，賭一個數字的賠率為35，但是有利機率為1/37，所以期望值是(1+35)/37，低於所投入的1份賭注，莊家的有利程度是2.7%，任何時候一個理性的人都不該下注，因為這不是公平的賭局。而我之前提到的讓隨機愚弄的方式，就是設法想在一些不公平的賭局中做選擇，由於不論哪種賭法都是莊家有利，應該要選擇波動性較高的賭法，也就是選擇每承擔一個單位的不利程度，能得到最高賠率的賭法，也許可以比照SHARPE RATIO夏普指數，稱為PJHUANG指數(PJHUANG指數=賠率/莊家勝算)。各種賭法中以單押一個數字的輪盤，承擔2.7%的不利，卻得到35倍的賠率為最佳。賭單雙則是承擔1.35%的不利，卻只得到1倍的賠率。所以針對讓隨機愚弄的機會(糊裡糊塗出現連勝贏錢的機會)，單押一個數字遠比賭單雙好的多。

一般而言，凱利方程式Kelly’s Criterion是應該用在有利的賭局中，例如60%的勝率，一賠一的賭局，則每次應該下注開始所有資本的60%-(40%/1)=20%。將凱利方程式Kelly’s Criterion套到單押一個數字的輪盤，則賭注應該是1/37-((36/37)/35)=-0.08%，負值表示根本不該賭。這表示以真實的勝率來看，凱利方程式告訴我們別賭。如果不得已非賭不可，則只好假裝自己勝率高於真實來推算，若假設你當天短期間的勝率比真實的勝率高一倍，則凱利方程式告訴我們你的賭注應該是資金的2.7%= (2/37)-((35/37)/35)。若是假設你的勝率比真實的勝率高兩倍，則凱利方程式告訴我們你的賭注應該是資金的5.48% = (3/37)-((34/37)/35)。之前的讓隨機愚弄的策略則是選擇了資金的5%，相當於勝率比真實的勝率高1.83倍，這應該算是為我自己想的「讓隨機愚弄策略」找到了一個理論根據。(旁邊有個聲音在說：「你會不會太無聊了，讓隨機愚弄還要啥理論根據？」)